专题19 二次函数与平移变换综合问题

专题19 二次函数与平移变换综合问题

典例剖析

【例1】．(2022•湖北)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x²﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．

(1)求点B的坐标及直线AC的解析式；

(2)当二次函数y＝x²﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；

(3)平移抛物线y＝x²﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．

【例2】．(2022•常州)已知二次函数y＝ax²+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：

x

…

﹣1

0

1

2

3

…

y

…

4

3

0

﹣5

﹣12

…

(1)求二次函数y＝ax²+bx+3的表达式；

(2)将二次函数y＝ax²+bx+3的图象向右平移k(k＞0)个单位，得到二次函数y＝mx²+nx+q的图象，使得当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小．请写出一个符合条件的二次函数y＝mx²+nx+q的表达式y＝　   　，实数k的取值范围是 　   　；

(3)A、B、C是二次函数y＝ax²+bx+3的图象上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图象的对称轴对称，求∠ACB的度数．

【例3】．(2022•连云港)已知二次函数y＝x²+(m﹣2)x+m﹣4，其中m＞2．

(1)当该函数的图象经过原点O(0，0)，求此时函数图象的顶点A的坐标；

(2)求证：二次函数y＝x²+(m﹣2)x+m﹣4的顶点在第三象限；

(3)如图，在(1)的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．

【例4】．(2022•聊城)如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，3)，对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．

(1)求二次函数的表达式；

(2)连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；

(3)如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x²+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D₁且CD₁＝2CD，得到新抛物线y₁，y₁交y轴于点N．如果在y₁的对称轴和y₁上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．

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