专题07数学202317一中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练个专题角平分线的基本模型全等类

专题07 角平分线的重要模型（一）全等类

角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段等）

【模型解读与图示】

已知如图1，为的角平分线、不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在上截取，连结即可.即有≌，利用相关结论解决问题. 

  图1      图2

1．（2022·湖北十堰·九年级期末）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．

（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；

（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．

2．（2022·山东烟台·九年级期末）已知在中，满足，

(1)【问题解决】如图1，当，为的角平分线时，在上取一点使得，连接，求证：．

(2)【问题拓展】如图2，当，为的角平分线时，在上取一点使得，连接，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由．

(3)【猜想证明】如图3，当为的外角平分线时，在的延长线上取一点使得，连接，线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．

3．（2022·浙江·九年级期中）（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）

（2）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．（3）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B ，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．

4．（2022·北京九年级专题练习）在四边形中，是边的中点．

（1）如图（1），若平分，，则线段、、的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）；（2）如图（2），平分，平分，若，则线段、、、的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．

模型2.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）

【模型解读与图示】

已知如图1，为的角平分线、于点时，辅助线的作法大都为过点作即可.即有、≌等，利用相关结论解决问题.

 图1      图2      图3

邻等对补模型：已知如图2，AP是∠CAB的角平分线，EP=DP

辅助线：过点P作PG⊥AC、PF⊥AB

结论：①（四点共圆）；②；③

1．（2022·北京·中考真题）如图，在中，平分若则____．

2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　）

A．40° B．45° C．50° D．60°

3．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在中，分别平分，交于点．

(1)求证：；(2)过点作，垂足为．若的周长为56，，求的面积．

4．（2022·河北·九年级专题练习）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．

（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；

（2）如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．

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