八年级上册初中数学专项练习111514九大题型因式分解

因式分解-九大题型

【知识点1 因式分解】

定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：

①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；

②公式法：a²-b²=(a+b)(a-b)；a²+2ab+b²=(a+b)²；a²-2ab+b²=(a-b)²。

③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)

④十字相乘法：a²+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)

因式分解的一般步骤：

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式

（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

【题型1  因式分解的意义】

【例1】（济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）

A．x²﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x²﹣1＝（x﹣1）²

C．x²﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x²﹣x

【变式1-1】（儋州校级期末）下列各式不能因式分解的是（　　）

A．a²﹣b² B．a²﹣2a+1 C．ab﹣a D．a²+b²

【变式1-2】（青川县期末）下列各式因式分解正确的是（　　）

A．a²+aa²+2a+1＝（a+1）²

B．a²+ab﹣6b²＝a（a+b）﹣6b²

C．a²﹣b²﹣a﹣b＝（a+b）（a﹣b）﹣a﹣b

D．a﹣2a²+a³＝a（1﹣2a+a²）＝a（1﹣a）²

【变式1-3】（德惠市期末）给出六个多项式：①x²+y²；②﹣x²+y²；③x²+2xy+y²；④x⁴﹣1；⑤x（x+1）﹣2（x+1）；⑥m²﹣mnn²．其中，能够分解因式的是　②③④⑤⑥　 （填上序号）．

【题型2  利用因式分解求系数的值】

【例2】（攀枝花模拟）若关于x的多项式x²﹣px﹣6含有因式x﹣2，则实数p的值为（　　）

A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1

【变式2-1】（聊城期末）如果100x²+kxy+49y²能分解为（10x﹣7y）²，那么k＝　　　．

【变式2-2】（南山区校级期中如果x³+ax²+bx+4有两个因式（x+1）和（x+2），则a+b的值为 　　　．

【变式2-3】（青羊区校级期中）已知x²+x﹣6是多项式2x⁴+x³﹣ax²+bx+a+b﹣1的因式，则a＝　　　；b＝　　．

【题型3  利用公式法进行因式分解求代数式的值】

【例3】（渠县校级期中）若a＝1999x+2000，b＝1999x+2001，c＝1999x+2002，则多项式a²+b²+c²﹣ab﹣ac﹣bc的值为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

【变式3-1】（新吴区校级期中）（1）已知x+y＝4，xy＝2，求2x³y+4x²y²+2xy³的值；

（2）已知x，化简并计算：（1﹣2x）²（2x+1）²﹣（3+2x）²（3﹣2x）²．

【变式3-2】（洪泽区期中）一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，则m²n+mn²的值为　　　．

【变式3-3】（安顺模拟）已知m²＝4n+a，n²＝4m+a，m≠n，则m²+2mn+n²的值为（　　）

A．16 B．12 C．10 D．无法确定

【题型4  利用平方差公式进行因式分解确定整除问题】

【例4】（新泰市月考）两个连续的奇数的平方差总可以被k整除，则k等于（　　）

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