八年级上册初中数学专项练习1115三大题型拔尖全等角形

全等三角形八大题型总结（拔尖篇）

【题型1  由全等三角形的判定与性质求最值】

【例1】（2023春·北京朝阳·八年级统考期末）如图，中，，，D，E为边上的两个动点，且，连接，，若，则的最小值为             ．

【变式1-1】（2023春·八年级课时练习）如图，在Rt中，，M为的中点，H为上一点，过点C作，交的延长线于点G，若，，则四边形周长的最小值是      ．

【变式1-2】（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在四边形中，，，连接，，平分．若是边上一动点，则长的最小值为      ．

【变式1-3】（2023春·八年级课时练习）如图，在直角中，，，，，平分，是上一动点（不与重合），是上一动点（不与重合），则的最小值为        ．

【题型2  由全等三角形的判定与性质探究线段的和差关系】

【例2】（2023春·河南郑州·七年级统考期末）回答问题

（1）【初步探索】如图1，在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是 　 　；

（2）【灵活运用】如图2，若在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

（3）【拓展延伸】已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3，仍然满足，请直接写出与的数量关系．

【变式2-1】（2023春·上海·七年级期末）已知：等边△ABC边长为3，点D、点E分别在射线AB、射线BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），将直线DE绕点E顺时针旋转60°，得到直线EF交直线AC于点F．

(1)如图1，当点D在线段AB上，点E在线段BC上时，说明BD+CF＝3的理由．

(2)如图2，当点D在线段AB上，点E在线段BC的延长线上时，请判断线段BD，CF之间的数量关系并说明理由．

(3)当点D在线段AB延长线上时，线段BD，CF之间的数量关系又如何？请在备用图中画图探究，并直接写出线段BD，CF之间的数量关系．

【变式2-2】（2023春·陕西西安·八年级西安益新中学校考阶段练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：．

（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点．

【变式2-3】（2023春·上海静安·八年级校考期中）如图，在中，，是的平分线，过点作的垂线交延长线于点，若，则的度数是             

【题型3  由全等三角形的判定与性质求面积】

【例3】（2023春·广东深圳·八年级校考阶段练习）如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为           ．

【变式3-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，已知四边形，连接，，，若，则的面积等于          ．

【变式3-2】（2023春·江苏南京·八年级南京市科利华中学校考期中）如图，中，，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABDE、ACPQ、BCMN，四块阴影部分面积分别为、、、，若，则           ．

【变式3-3】（2023春·江苏盐城·八年级景山中学校考期末）已知：中，，，为射线上一动点，连接，在直线右侧作，且．连接交直线于，若，则的值为     ．

【题型4  尺规作图与全等三角形的综合】

【例4】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为       ．

【变式4-1】（2023·全国·八年级专题练习）我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一个△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即两边和其中一边所对的角分别相等）．

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