专项18-正方形综合问题-大题专练-专题培优

正方形综合问题-大题专练-专题培优

一．解答题（共30小题）

1．（青山区校级期中）如图，正方形ABCD中，点E为边BC的上一动点，作AF⊥DE交DE、DC分别于P、F点，连PC

（1）若点E为BC的中点，求证：F点为DC的中点；

（2）若点E为BC的中点，PE＝6，PC，求PF的长．

2．（三门县一模）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边DA，AB上，且BE⊥CF于点G．

（1）求证：△ABE≌△BCF；

（2）若四边形AECF的面积为12．

①正方形ABCD的面积是　   　；

②当FG＝2时，求EG的长．

3．（安丘市模拟）如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F．

猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明．

4．如图，在△AFE中，∠FAE＝90°，AB是EF边上的高，以AB为一边在

AB的右侧作正方形ABCD，CD交AE于点M．

（1）求证：△ABF≌△ADM；

（2）若AF＝13，DM＝5，求CM的长；

（3）连接DF交AB于点G，连接GM，若∠DFB＝∠FAB，求证：四边形AGMD是矩形．

5．（宽城区一模）问题探究：如图①，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝DF．线段BE与AF相交于点G，GH是△BFG的中线．

（1）求证：△ABE≌△DAF．

（2）判断线段BF与GH之间的数量关系，并说明理由．

问题拓展：如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝2，DF＝3，线段BE与AF相交于点G．若GH是△BFG的中线，则线段GH的长为　   　．

6．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线AC上（不与点A、C重合），PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，连接PD．

（1）求证：四边形PMBN是矩形．

（2）猜想PD、PM、PN之间的数量关系，并说明理由．

7．（黑龙江）如图，BD是正方形ABCD的对角线，线段BC在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为PQ，连接PA，过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．

（1）如图①所示，求证：APOA；

（2）如图②所示，PQ在BC的延长线上，如图③所示，PQ在BC的反向延长线上，猜想线段AP、OA之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

8．（沙河市期末）如图，矩形ABCD和正方形ECGF．其中E、H分别为AD、BC中点，连结AF、HG、AH．

（1）求证：AF＝HG；

（2）求证：∠FAE＝∠GHC；

9．（岳麓区校级期末）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．

（1）求证：△PDE≌△QCE；

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