专项03 巧借中点构造三角形的中位线

专项03　巧借中点构造三角形的中位线

技巧一　连接两点，构造三角形

1.(2023广西中考)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为　　　　. 

技巧二　连接两点，构造中位线

2.(2023江苏扬州月考)如图，已知△ABC的中线BD、CE相交于点O，M、N分别为OB、OC的中点.

(1)求证：MD和NE互相平分；

(2)若BD⊥AC，OC²=32，OD+CD=7，求△OBC的面积.

技巧三　取中点，构造三角形+中位线

3.如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF之间的数量关系是(　　)

A.AD+BC>2EF B.AD+BC≥2EF C.AD+BC<2EF D.AD+BC≤2EF

技巧四　延长线段证中点，构造中位线

4.(2023湖北襄阳樊城期中)如图，△ABC中，AD是角平分线，AE是中线，CP⊥AD于P，AB=6，AC=4，则PE的长为　　　　. 

技巧五　倍长线段得中点，构造中位线

5.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF=90°，M为AF的中点.求证：ME=CF.

专项03　巧借中点构造三角形的中位线

答案全解全析

1.答案　

解析　如图所示，连接AE，

∵M，N分别是EF，AF的中点，∴MN是△AEF的中位线，∴MN=AE，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∴AE²=AB²+BE²=4+BE²，

∴当BE最大时，AE最大，此时MN最大，

∵点E是BC上的动点，∴当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长度，

∴此时AE²=4+2²=8，∴AE最大=，∴MN最大=AE=×=.故答案为.

2.解析　(1)证明：连接ED、MN，如图所示.

∵BD、CE是△ABC的中线，∴E、D分别是AB、AC的中点，∴ED∥BC，ED=BC，

∵M、N分别为OB、OC的中点，∴MN∥BC，MN=BC，∴ED∥MN，ED=MN，

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