专项10 新定义问题

专项10　新定义问题

类型一　分式与新定义问题

1.(2023四川广安中考)定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，a※b=+.若2※(-2)=1，则(-3)※3的值是　　　　. 

2.(2023浙江宁波模拟)定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b=+.若(x-1)⊗(x+1)=，则x的值为　　　　. 

类型二　点的坐标与新定义问题

3.(2023江苏常州外国语学校一模)对于平面直角坐标系xOy中的点M(a，b)，若N的坐标为(ka，b+k)，其中k为常数，且k≠0，则M、N互为“k系关联点”，例如：M(2，3)的“2系关联点”为N(2×2，3+2)，即N(4，5).若点P(m，-2)的“-1系关联点”为Q(x，y)，且满足x+y=-9，则m的值为　　　　. 

4.(2023湖北荆州公安期中)在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”.

(1)点A(-1，-4)的“短距”为　　　　； 

(2)若点B(3m-1，-3)的“短距”为2，求m的值；

(3)若C(-2，2n-1)、D(n-3，5)两点为“等距点”，求n的值.

类型三　几何图形与新定义问题

7.(2022山西临汾期末)阅读与思考：

若两个等腰三角形有公共腰，则称这两个等腰三角形不在公共腰上的两个顶点关于腰互为对顶点.若再满足不在公共腰上的两个角的和是90°，则称这两个顶点关于腰为互余对顶点.

如图1，在四边形ABCD中，AC是一条对角线，CD=CA=CB，则B与D关于AC互为对顶点，若再满足∠B+∠D=90°，则B与D关于AC为互余对顶点.

任务：

如图2，平行四边形ABCD与四边形ABCE有两边重合，AC为两个四边形的对角线，AE=AD=AC，∠ACB=70°.

(1)求证：B与E关于AC互为对顶点；

(2)当B与E关于AC为互余对顶点时，求∠DCE的度数.

图1 图2

专项10　新定义问题

答案全解全析

1.答案　-

解析　∵2※(-2)=1，∴+=1，∴x-y=2，

∴(-3)※3=+=-(x-y)=-×2=-.

2.答案　2

解析　由题意得，+=.

去分母，得x+1+x-1=3x-2.

移项，得x+x-3x=-2+1-1.

合并同类项，得-x=-2.

系数化为1，得x=2.

检验：当x=2时，(x+1)(x-1)≠0.

∴x=2.

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