专项03 四边形中的辅助线

专项03　四边形中的辅助线

类型1　与平行四边形有关的辅助线

专题解读　

平行四边形由于其两组对边是分别平行且相等的，因此提供了丰富的线段相等和角相等的信息.发现或构造全等三角形证明线段或角相等是常见的方法.

常见的辅助线添加方法：(1)连接两点；(2)作平行线；(3)连接对角线.目的都是构造线段的平行、垂直，构成三角形的全等，把平行四边形问题转化成常见的三角形全等问题处理.

1.在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形.

2.如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF=BE，EF与CD交于点G.

(1)求证：DF∥AC.

(2)连接DE、CF，若AB⊥BF，且点G是CD的中点，则四边形CFDE是什么特殊四边形?请证明你的结论.

(3)在(2)的条件下，若四边形CFDE是正方形，求证：AE=2EC.

类型2　与菱形有关的辅助线

专题解读　

菱形具有平行四边形的所有性质，其特殊性主要在于对角线是互相垂直的，辅助线的作法主要是连接菱形的对角线、作高，借助菱形的性质和判定解决问题.

3.如图，点P是边长为6的菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，连接AP.

(1)求证：AP=CP；

(2)若CE垂直平分AD，求PB的长.

4.把两个边长都等于4的等边三角形拼成菱形ABCD(如图).有一个含60°角的三角尺，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.

(1)将三角尺绕点A按逆时针方向旋转，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时(如图1)，通过观察或测量AE，AF的长度，你能得出什么结论?并证明你的结论.

(2)在旋转过程中，四边形AECF的周长是否发生变化?如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出四边形AECF的周长的最小值.

(3)若将(1)中三角尺的60°角的顶点P在AC上移动且与点A，C都不重合，三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F(如图2)，那么PE、PF之间又有什么数量关系?并证明你的结论.

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