第3单元 圆柱与圆锥

3　圆柱与圆锥

一、圆柱的认识

1.生活中有许多物体是圆柱形的,如茶叶桶、蜡烛、罐头盒等。

2.圆柱的特征:圆柱是由3个面围成的。它的上、下两个面叫做底面。圆柱周围的面(上、下底面除外)叫做侧面。圆柱的两个底面之间的距离叫做高,圆柱有无数条高。

3.圆柱的上、下底面是完全相同的两个圆。圆柱的侧面是一个曲面,沿高展开后是一个长方形(或正方形),这个长方形(或正方形)的长(或边长)等于圆柱的底面周长,宽(或边长)等于圆柱的高。

4.把一张长方形的硬纸贴在木棒上,快速转动木棒,长方形硬纸形成的图形就是圆柱。

二、圆柱的表面积

1.圆柱的侧面积=底面周长×高,用字母表示:S_侧=Ch。如果已知底面直径,底面周长的计算公式是C=πd,圆柱的侧面积公式就是S_侧=πdh;如果已知底面半径,底面周长的计算公式就是C=2πr,圆柱的侧面积公式就是S_侧=2πrh。

2.圆柱的表面积=侧面积+底面积×2,用字母表示为S_表=Ch+2πr²。

三、圆柱的体积

1.圆柱所占空间的大小,叫做这个圆柱的体积。

2.圆柱体积的推导过程:把一个圆柱的底面沿半径分成若干个相等的扇形,按照等分线沿着圆柱的高把它们切开后,可以拼成一个近似的长方体。分成的扇形越多,拼成的立体图形就越接近于长方体。拼成的长方体与圆柱形状不同,体积相等。长方体的底面积等于圆柱的底面积,长方体的高等于圆柱的高。长方体的体积=底面积×高,推导出:圆柱的体积=底面积×高。

3.圆柱的体积公式是V_圆柱=Sh,如果知道圆柱的底面半径r和高h,圆柱的体积公式就是V_圆柱=πr²h。

4.在求不规则的物体的体积或容积时,可以利用转化的思想,将其转化成规则的图形进行计算。

四、圆锥的认识

1.生活中有很多物体的形状是圆锥形的,像尖形的帽子、粮囤的顶部等,还有漏斗、跳棋等物体的形状也接近圆锥形。

2.圆锥的特征:圆锥是由一个底面和一个侧面围成的立体图形。圆锥的底面是一个圆,圆锥的侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。圆锥只有一条高。

3.圆锥高的测量方法:①把圆锥的底面水平放好;②把一块平板水平地放在圆锥的顶点上面;③平板和底面之间的距离就是圆锥的高。

4.把一张直角三角形的硬纸贴在木棒上,快速转动木棒,直角三角形转动形成的图形是圆锥,贴在木棒上的直角边是圆锥的高,另一条直角边是圆锥的底面半径。

五、圆锥的体积

1.圆锥的体积推导过程:准备等底等高的圆柱和圆锥形容器。把空的圆锥形容器里装满水或细沙,然后倒入空圆柱形容器里,倒3次正好将空圆柱装满。如果把空圆柱形容器装满水或细沙,倒入空圆锥形容器中,每次都倒满,正好也倒了3次。通过实验可知,等底等高的圆柱和圆锥,圆柱的体积是圆锥体积的3倍,也可以说圆锥的体积是圆柱体积的。

2.圆锥的体积公式:V_圆锥=Sh。已知圆锥的底面半径和高,可以直接利用公式V_圆锥=πr²h来计算体积。